Partiendo de las transformaciones de coordenadas parabólicas, realizar el análisis correspondiente a cada inciso:
Las coordenadas parabólicas $(\mu, \lambda)$ se usan para generar una serie de parábolas co-focales. En 3 dimensiones, estas parábolas se proyectan a lo largo de todo el eje $z$. Estas parábolas se definen en el plano cartesiano de la siguiente forma:
\begin{align} x &= \frac{1}{2} (\mu^2 - \lambda^2) \label{1}\\ y &= \mu \lambda \label{2} \\ z &= z \label{3} \end{align}A fin de generar las parábolas en el plano cartesiano $(x,y)$ se pueden usar las ecuaciones \eqref{1} y \eqref{2}, fijando un valor constante para $\mu$ y después para $\lambda$. Para un valor $\mu = \mu_0$ constante, se generan las parábolas
$$ x = \frac{1}{2} \left(\mu_0^2 - \left[\frac{y}{\mu_0}\right]^2 \right) $$...que están abiertas en dirección negativa del eje $x$. A su vez, para un valor $\lambda = \lambda_0$ constante, se generan las parábolas
$$ x = \frac{1}{2} \left( \left[ \frac{y}{\lambda_0}\right]^2 - \lambda_0^2\right) $$...que están abiertas en dirección $x$ positiva.
In [1]:
# Representación gráfica de las coordenadas parabólicas en un plano
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def parabm(m, y):
"""
Crea los valores (x) correspondientes al vector (y) cuando 'm' es una
constante. Devuelve todo un vector
"""
return ((m**2)- ((y / m)**2)) * 0.5
def parabl(l, y):
"""
Crea los valores (x) correspondientes al vector (y) cuando 'm' es una
constante. Devuelve todo un vector
"""
return (((y/l)**2) - (l**2)) * 0.5
# Vector con valores de y
y = np.linspace(-5, 5, 100)
# Vectores para guardar los valores 'x' para un lambda / mu constantes
# (cada sub-vector debe tener la misma magnitud que el vector 'y')
xl = np.zeros([5, 100])
xm = np.zeros([5, 100])
# Asignación de valores para lambda y mu constantes de 1 a 5
for i in range(1,6):
xl[i-1] = parabl(i, y)
xm[i-1] = parabm(i, y)
plt.figure(1, figsize=[10,7])
for i in range(5):
plt.plot(xm[i], y, label=r'$\mu = $%.1f'%(i+1))
for i in range(5):
plt.plot(xl[i], y, label=r'$\lambda = $%.1f'%(i+2))
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
In [2]:
# Representación gráfica de los vectores tangentes de coordenadas parabólicas
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
y2 = np.linspace(-10, 10, 200)
xl2 = parabl(2.5, y2)
xm2 = parabm(2.5, y2)
xl3 = parabl(3, y2)
xm3 = parabm(3, y2)
plt.figure(2, figsize=[10,7])
plt.ylim(5, 11)
plt.plot(xl2, y2, 'r')
plt.plot(xl3, y2, 'tomato')
plt.plot(xm2, y2, 'g')
plt.plot(xm3, y2, 'limegreen')
plt.annotate(r'$\lambda_0$ = 2.5', xy=(4.5, 10))
plt.annotate(r'$\lambda_1$ = 3', xy=(1, 10))
plt.annotate(r'$\mu_1$ = 3', xy=(-1.5, 10))
plt.annotate(r'$\mu_0$ = 2.5', xy=(-4.8, 10))
plt.annotate('', xy=(-1.375, 7.5), arrowprops=dict(
width=7, color='k',alpha=0.5), xytext=(0,6.25))
plt.annotate('', xy=(1.375, 7.5), arrowprops=dict(
width=7, color='k', alpha=0.5), xytext=(0,6.25))
plt.grid(True)
plt.show()
Se pueden obtener factores de escala a partir de la variación de la posición con respecto a cada una de las coordenadas $(\lambda, \mu)$. Si se varía la posición con respecto a $\lambda$ se obtiene:
\begin{equation} \hat{\lambda} = h_1^2 = \left(\frac{\partial x}{\partial \lambda}\right) ^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \lambda}\right) ^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial \lambda}\right) ^2 \end{equation}Se evaluarán los valores de $(x, y, z)$ como se expresaron en las ecuaciones \eqref{1}, \eqref{2}, \eqref{3}:
\begin{align*} \hat{\lambda} = h_1^2 &= \left(\frac{\partial (\frac{1}{2}(\mu^2 - \lambda^2))}{\partial \lambda}\right)^2 + \left(\frac{\partial (\mu \lambda)}{\partial \lambda}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial \lambda}\right)^2 \\ &= \left(-\frac{1}{2} \cdot 2\lambda\right)^2 + (\mu)^2 + (0)^2 \\ h_1^2 &= (-\lambda)^2 + \mu^2 \end{align*}\begin{equation} \therefore h_1 = \sqrt{\mu^2 + \lambda ^2} \end{equation}De forma análoga, se encuentra que:
\begin{align*} \hat{\mu} = h_2^2 &= \left(\frac{\partial (\frac{1}{2}(\mu^2 - \lambda^2))}{\partial \mu}\right)^2 + \left(\frac{\partial (\mu \lambda)}{\partial \mu}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial \mu}\right)^2 \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot 2\mu\right)^2 + (\lambda)^2 + (0)^2 \\ h_2^2 &= \mu^2 + \lambda^2 \end{align*}\begin{equation} \therefore h_2 = \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} \end{equation}Se observa que \eqref{3} es la única ecuación con componente en $z$, y a su vez que ésta no tiene ningún componente en $(x, y)$ por lo que las derivadas parciales de $h_3^2$ serán:
\begin{align*} h_3^2 = (0)^2 + (0)^2 + (1)^2 \end{align*}\begin{equation} \therefore h_3 = \sqrt{1} = 1 \end{equation}Para determinar los elementos diferenciales en cada dirección, para cualquier sistema de coordenadas curvilíneas, se tiene que:
\begin{align} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_n} &= \frac{\partial x}{\partial q_n}\hat{e}_1 + \frac{\partial y}{\partial q_n}\hat{e}_2 + \frac{\partial z}{\partial q_n}\hat{e}_3 \label{8} \\ &= \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_n} \right| \hat{q}_n \label{9} \\ &= h_n \hat{q}_n \label{10} \\ \therefore \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_n} \right| &= h_n \label{11} \end{align}Es decir, se observa la variación de la posición con respecto a una sola coordenada $q_n$. A fin de observar dicha variación en el sistema parabólico cilíndrico, se debe fijar constante uno de los dos parámetros, $\mu$ o $\lambda$. En otras palabras, se observa el movimiento a lo largo de una sola parábola $\mu$.
De las ecuaciones \eqref{8}, \eqref{9}, \eqref{10} se observa que, cuando $\mu = \mu_0 = cte.$:
\begin{align*} h_1 \hat{\lambda} &= \frac{\partial x}{\partial \lambda} \hat{e}_1 + \frac{\partial y}{\partial \lambda}\hat{e}_2 + \frac{\partial z}{\partial \lambda} \hat{e}_3 \\ \hat{\lambda} &= \frac{1}{h_1} \left(\frac{\partial x}{\partial \lambda} \hat{e}_1 + \frac{\partial y}{\partial \lambda}\hat{e}_2 + \frac{\partial z}{\partial \lambda} \hat{e}_3 \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{\mu^2 + \lambda^2}} \left(\frac{1}{2} (-2\lambda)\hat{e}_1 + \mu \hat{e}_2 + 0 \right) \end{align*}\begin{equation} \hat{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 + \lambda^2}} \left( -\lambda \hat{e}_1 + \mu \hat{e}_2\right) \label{12} \end{equation}De forma similar, si se fija un valor constante para $\lambda = \lambda_0$, se encuentra que:
\begin{equation} \hat{\mu} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 + \lambda^2}} \left( \mu \hat{e}_1 + \lambda \hat{e}_2\right) \label{13} \end{equation}\begin{equation} \hat{z} = \hat{e}_3 \label{14} \end{equation}Dados dos vectores coplanares $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ que forman un ángulo menor $\theta$, se puede encontrar el área del paralelepípedo que forman con la expresión
$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \hat{n} \cdot |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \sin(\theta) $$..donde $\hat{n}$ es un vector perpendicular a ambos $\mathbf{a}, \mathbf{b}$. En el caso de las coordenadas parabólicas cilíndricas, se puede concebir un elemento diferencial de área considerando los vectores $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ como los elementos diferenciales de cada una de las coordenadas arriba descritos en \eqref{12}, \eqref{13}, \eqref{14}. De esta forma, se obtienen tres posibles diferenciales de área:
\begin{align*} d \mathbf{\sigma}_3 &= \hat{q}_3 dS_1 \, dS_2 \\ &= \hat{q}_3 (h_1 dq_1)(h_2 dq_2) \\ &= (\lambda^2 + \sigma^2) d\sigma d\lambda \hat{k} \end{align*}\begin{align*} d \mathbf{\sigma}_2 &= \hat{\lambda} (dS_3 dS_1) \\ &= \hat{\lambda} (h_3 dz)(h_1 d\mu) \\ &= \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} d\mu dz \hat{\lambda} \end{align*}\begin{align*} d \mathbf{\sigma}_1 &= \hat{\mu} (dS_2 dS_3) \\ &= \hat{\mu} (h_2 d\lambda)(h_3 dz) \\ &= \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} d\lambda dz \hat{\mu} \end{align*}Por lo tanto:
\begin{align} d \mathbf{\sigma}_3 &= (\lambda^2 + \sigma^2) d\sigma d\lambda \hat{k} \label{15} \\ d \mathbf{\sigma}_2 &= \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} d\mu dz \hat{\lambda} \label{16} \\ d \mathbf{\sigma}_1 &= \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} d\lambda dz \hat{\mu} \label{17} \end{align}Para encontrar el elemento diferencial de volumen, se puede usar el caso general para encontrar el volumen definido por tres vectores $\mathbf{a, b, c}$. Primero se encuentra el valor de la "base" $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ y después se "proyecta" dicha área sobre la dirección del vector $\mathbf{c}$. Es decir,
$$ \text{Área } = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} $$Este procedimiento se puede aplicar a cualquiera de los tres elementos diferenciales de área \eqref{15}, \eqref{16}, \eqref{17}, proyectando sobre el vector restante. De la ecuación \eqref{15}:
$$ d\sigma_3 = d_1 \mathbf{r} \times d_2 \mathbf{r} \\ d\mathbf{V} = d_3 \mathbf{r} \cdot (d_1 \mathbf{r} \times d_2 \mathbf{r}) \\ $$\begin{equation} d\mathbf{V} = (\mu^2 + \lambda^2) d\mu \, d\lambda \, dz \label{18} \end{equation}Para calcular las integrales definidas de área de \eqref{15}, \eqref{16}, \eqref{17}, se usan:
\begin{align} A_{\sigma_3} &= \int_{\Delta \mu} \int_{\Delta \lambda} (\mu^2 + \lambda^2) d\lambda d\mu \label{19} \\ A_{\sigma_2} &= \int_{\Delta \lambda} \int_{\Delta z} \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} d\lambda dz \label{20} \\ A_{\sigma_1} &= \int_{\Delta z} \int_{\Delta \mu} \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} dz d\lambda \label{21} \end{align}A su vez, la solución de la integral definida de volumen es:
\begin{align*} d\mathbf{V} &= (\mu^2 + \lambda^2) d\mu \, d\lambda \, dz \\ &= \int_{\Delta z} \int_{\Delta \mu} \int_{\Delta \lambda} (\mu^2 + \lambda^2) d\mu \, d\lambda \, dz \\ &= \Delta z \int_{\mu}^{\mu + \Delta \mu} \int_{\lambda}^{\lambda + \Delta \lambda} (\mu^2 + \lambda^2) d\mu \, d\lambda \\ &= \Delta z \left[ \int_{\mu}^{\mu + \Delta \mu} \int_{\lambda}^{\lambda + \Delta \lambda} \mu^2 d\mu \, d\lambda + \int_{Delta \mu} \int_{\Delta \lambda}\lambda^2 d\mu \, d\lambda \right] \\ &= \Delta z \left[\Delta \mu \frac{1}{3}\lambda^3 \big|_{\lambda_0}^{\lambda_0 + \Delta \lambda} + \Delta \lambda \frac{1}{3}\mu^3 \big|_{\mu_0}^{\mu_0 + \Delta \mu} \right] \end{align*}\begin{equation} d\mathbf{V} = \Delta z \left[ \frac{\Delta \mu}{3}[(\lambda + \Delta \lambda)^3 - \lambda^3] + \frac{\Delta \lambda}{3}[(\mu + \Delta \mu)^3 - \mu^3] \right] \label{22} \end{equation}Sea $f$ un campo escalar. El gradiente de dicho campo en coordenadas curvilíneas es, en general:
\begin{equation} \nabla \cdot f = \hat{e}_1 \frac{1}{h_1} \frac{\partial f}{\partial q_1} + \hat{e}_2 \frac{1}{h_2} \frac{\partial f}{\partial q_2} + \hat{e}_3 \frac{1}{h_3} \frac{\partial f}{\partial q_3} \end{equation}El caso particular en coordenadas parabólicas cilíndricas es:
\begin{align*} h_1 &= \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} \\ h_2 &= \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} \\ h_3 &= 1 \\ q_1 &= \mu \\ q_2 &= \lambda \\ q_3 &= z \\ \therefore \end{align*}\begin{equation} \nabla f = \frac{1}{\sqrt{\mu^2+\lambda^2}} \frac{\partial f}{\partial \mu}\hat{\mu} + \frac{1}{\sqrt{\mu^2 + \lambda^2}} \frac{\partial f}{\partial \lambda} \hat{\lambda} + \frac{\partial f}{\partial z}\hat{z} \end{equation}Se tiene la expresión general de la divergencia para un sistema de coordenadas curvilíneas:
\begin{equation} \nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial (A_1 h_2h_3)}{\partial q_1} + \frac{\partial(A_2h_3h_1)}{\partial q_2} \frac{\partial (A_3h_1h_2)}{\partial q_3}\right] \end{equation}Sea $\mathbf{A}$ un campo escalar con forma:
$$ \mathbf{A} = A_\mu \hat{\mu} + A_\lambda \hat{\lambda} + A_z \hat{z} $$Para el caso particular de las coordenadas parabólicas:
$$ \nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{\mu^2 + \lambda^2}\left[\frac{\partial (A_\mu \sqrt{\mu^2 + \lambda^2})}{\partial \mu} + \frac{\partial(A_\lambda \sqrt{\mu^2 + \lambda^2})}{\partial \lambda} \frac{\partial (A_z (\mu^2 + \lambda))}{\partial z}\right] $$\begin{equation} \nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{\mu^2 + \lambda^2}\left[\frac{\partial (A_\mu \sqrt{\mu^2 + \lambda^2})}{\partial \mu} + \frac{\partial(A_\lambda \sqrt{\mu^2 + \lambda^2})}{\partial \lambda}\right] + \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{equation}El caso general de un rotacional para coordenadas curvilíneas es (1, 2)
$$ \nabla \times \mathbf{A} = \frac{1}{h_1h_2h_3}\begin{vmatrix} \hat{q}_1h_1 & \hat{q}_2h_2 & \hat{q}_3h_3 \\ \frac{\partial}{\partial q_1} & \frac{\partial}{\partial q_2} & \frac{\partial}{\partial q_3} \\ h_1A_1 & h_2A_2 & h_3A_3 \end{vmatrix} $$Para el caso particular de las coordenadas parabólicas:
\begin{align*} \nabla \times \mathbf{A} &=& \frac{1}{\mu^2 + \lambda^2} \begin{vmatrix} \hat{\mu}h_1 & \hat{\lambda}h_2 & \hat{z}h_3 \\ \frac{\partial}{\partial \mu} & \frac{\partial}{\partial \lambda} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_\mu \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} & A_\lambda \sqrt{\mu^2 + \lambda^2} & A_z \end{vmatrix} \\ &=& \frac{1}{\mu^2 + \lambda^2} \left(\frac{\partial A_z}{\partial \lambda} - \frac{\partial A_\lambda \sqrt{\mu^2 + \lambda^2}}{\partial z} \right)\sqrt{\mu^2 + \lambda^2} \cdot \hat{\mu} \\ && - \frac{1}{\mu^2 + \lambda^2} \left(\frac{\partial A_z}{\partial \mu} - \frac{\partial A_\mu \sqrt{\mu^2 + \lambda^2}}{\partial z} \right)\sqrt{\mu^2 + \lambda^2} \cdot \hat{\lambda}\\ && + \frac{1}{\mu^2 + \lambda^2}\left( \frac{\partial A_\lambda \sqrt{\mu^2 + \lambda^2}}{\partial \mu} - \frac{\partial A_\mu \sqrt{\mu^2 + \lambda^2}}{\partial \lambda}\right) \hat{z} \end{align*}\begin{eqnarray} &=& \left(\frac{1}{\sqrt{\mu^2 + \lambda^2}} \frac{\partial A_z}{\partial \lambda} - \frac{\partial A_\lambda}{\partial z}\right) \hat{\mu} \\ &&- \left(\frac{1}{\sqrt{\mu^2 + \lambda^2}} \frac{\partial A_z}{\partial \mu} - \frac{\partial A_\mu}{\partial z} \right) \hat{\lambda} \nonumber \\ &&+ \frac{1}{\mu^2 + \lambda^2} \left( \frac{\partial \left(\sqrt{\mu^2 + \lambda^2} A_\mu \right)}{\partial \lambda}- \frac{\partial \left(\sqrt{\mu^2 + \lambda^2} A_\lambda \right)}{\partial \mu} \right) \hat{z} \nonumber \end{eqnarray}Para el caso particular de las coordenadas parabólicas:
\begin{align*} \nabla^2 \mathbf{A} &= \frac{1}{\mu^2 + \lambda^2} \left[ \frac{\partial}{\partial \mu}\left( \frac{\sqrt{\mu^2 + \lambda^2}}{\sqrt{\mu^2 + \lambda^2}} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \mu}\right) + \frac{\partial}{\partial \lambda}\left(\frac{\sqrt{\mu^2 + \lambda^2}}{\sqrt{\mu^2 + \lambda^2}} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \lambda}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{(\mu^2 + \lambda^2)}{1} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial z}\right)\right] \\ \nabla^2 \mathbf{A} &= \frac{1}{\mu^2 + \lambda^2} \left[ \frac{\partial}{\partial \mu}\left( \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \mu}\right) + \frac{\partial}{\partial \lambda}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \lambda}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial \mathbf{A} (\mu^2 + \lambda^2)}{\partial z}\right)\right] \end{align*}\begin{equation} \nabla^2 \mathbf{A} = \frac{1}{\mu^2 + \lambda^2} \left(\frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial \mu^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial \lambda^2}\right) + \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial z^2} \end{equation}